Question

8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）點P是線段EF上運動，且$\frac{EP}{PF}$=2，求三棱錐E-APD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面幾何知識計算AB，BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AD⊥BD，由平面BFED⊥平面ABCD得出AD⊥平面BFED；
（2）以△PDE為棱錐的底面，則AD為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算．

解答 （1）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴AB=2．∴BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos120°=3．
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD．
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，AD?平面ABCD，DE⊥DB，
∴AD⊥平面BFED．
（2）∵四邊形BFED為矩形，∴EF=BD=$\sqrt{3}$，DE=BF=1，
∵$\frac{EP}{PF}$=2，∴$PE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}PE•DE$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_E-APD=V_A-PDE=$\frac{1}{3}{S}_{△PDE}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，選擇恰當(dāng)?shù)牡酌婧透呤怯嬎泱w積的關(guān)鍵．