設函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立，當x∈[0，1]時，f（x）=x3，給出下列四個命題．
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②f（x）在[1，3]上解析式為f（x）=（2-x）3；
③f（x）圖象的對稱軸有x=±1；
④函數(shù)f（x）在R上無最大值．
其中正確命題的序號是
①②③
①②③
．
分析：本題為判斷命題真假問題，命題①考查了函數(shù)函數(shù)的周期性，把已知等式連續(xù)運用二次可解決；命題③先把f（x-2）=-f（x）寫成f（x-2）=f（-x），再用x+1替換x可解決；命題②先求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式，然后求曲線f（x）關于直線x=1的對稱曲線方程．由①②③得出的函數(shù)f（x）的性質可知，f（x）在定義域R上的最小值為-1，最大值為1．
解答：解：由f（x-4）=f[（x-2）-2]=-f（x-2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確．
因為函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，所以f（x-2）=-f（x）=f（-x），取x=x+1，得f（x-1）=f（-x-1），所以x=-1是函數(shù)圖象的一條對稱軸，根據(jù)對稱性知x=1也是函數(shù)圖象的對稱軸，故③正確．
因函數(shù)為奇函數(shù)，且當x∈[0，1]時，f（x）=x3，所以當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，又函數(shù)圖象關于直線x=1對稱，設對稱圖象上的點為（x，y），再設（x，y）關于x=1的對稱點為（x′，y′）
則x′=2-x，y′=y，把x′=2-x，y′=y，代入f（x）=x3得，f（x）=（2-x）3，故②正確．
由上面分析知函數(shù)f（x）在R上的最大值為1，故④不正確．
故答案為①②③
點評：函數(shù)的周期性和對稱性結合在一起命題，是較為棘手的問題，靈活掌握抽象函數(shù)式的變形及對x的靈活替換是解答此類題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　　）
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

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