Question

已知（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=0就可以求出常數(shù)，即a₀=1，請研究其中蘊含的解題方法并完成下列問題：若e^x=

+∞

i=0

a_ixⁱ，即e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+…，則

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,導數(shù)的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過對e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，連續(xù)求導，賦值求出a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n，然后求解

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

的值．

解答： 解：對e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+…，兩邊求導：
e^x=a₁+a₂x+a₃x²+a₄x³+…+a_nx^n-1+…，令x=0得：a₁=1⇒

1

a1

=1
再兩邊求導：e^x=2×1a₂+3×2a₃x+4×3a₄x²+…n×（n-1）a_nx^n-2+…
令x=0得：a₂=

1

1×2

⇒

1

a2

=1×2=2!
再兩邊求導：e^x=3×2×1a₃+4×3×2a₄x+…n（n-1）（n-2）a_nx^n-3+…
令x=0得：a3=

1

1×2×3

⇒

1

a3

=1×2×3=3!
…
猜想：an=

1

1×2×3×…n

⇒

1

an

=1×2×3×…n=n!
所以

n

an

=n×n!=[（n+1）-1]n!=（n+1）!-n!，所以

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

═（2!-1!）+（3!-2!）+…[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1．
故答案為：（n+1）！-1．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，函數(shù)的導數(shù)以及二項式定理的應用，以及賦值法的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．