Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx）．
（I）求證：向量

a

與向量

b

不可能平行；
（II）若

a

•

b

=1，且x∈[-π，0]，求x的值．

Answer 1

分析：（I）先假設(shè)兩個(gè)向量平行，利用平行向量的坐標(biāo)表示，列出方程并用倍角和兩角和正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出一個(gè)角的正弦值，根據(jù)正弦值的范圍推出矛盾，即證出假設(shè)不成立；
（II）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出式子，并用倍角和兩角和正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由條件和已知角的范圍進(jìn)行求值．

解答：解：（I）假設(shè)

a

∥

b

，則2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
1+cosxsinx+cos²x=0，即1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=0，
∴

2

sin（2x+

π

4

）=-3，解得sin（2x+

π

4

）=-

3 2

2

＜-1，故不存在這種角滿足條件，
故假設(shè)不成立，即

a

與

b

不可能平行．
（II）由題意得，

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）=1，
∵x∈[-π，0]，∴-2π＜2x＜0，即-

7π

4

＜2x+

π

4

＜

π

4

，
∴2x+

π

4

=-

5π

4

或

π

4

，解得x=-

3π

4

或

π

4

，
故x的值為：-

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，主要利用了三角恒等變換的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)于存在性的題目一般是先假設(shè)成立，根據(jù)題意列出式子，再通過運(yùn)算后推出矛盾，是向量和三角函數(shù)相結(jié)合的題目．