Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-a_n=2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₃=14，且數(shù)列{b_n-a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=b_n-2n，求數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的通項公式前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-a_n=2（n∈N^*），∴a_n=2+2（n-1）=2n．
數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₃=14，且數(shù)列{b_n-a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比為q＞0．
b₃-a₃=（b₁-a₁）q²，即14-6=（4-2）q²，解得q=2．
∴b_n-a_n=2×2^n-1，可得b_n=2n+2ⁿ．
（II）c_n=b_n-2n=2ⁿ，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．