Question

已知圓C經(jīng)過點A（1，-1），B（-2，0），C（

5

，1）直線l：mx-y+1-m=0
（1）求圓C的方程；
（2）求證：?m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（3）若直線l與圓C交于M、N兩點，當|MN|=

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時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓E的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A、B、C的坐標代入，建立關(guān)于D、E、F的方程組，解之即可得到△ABC的外接圓C的方程；
（2）由題意直線l經(jīng)過定點P（1，1），而點P恰好是圓內(nèi)一點，因此可得直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（3）由點到直線的距離公式，算出圓心到直線l的距離d=

|m|

m2+1

，再由垂徑定理結(jié)合弦長|MN|=

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，建立關(guān)于m的方程，解之可得m的值．

解答：解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵A（1，-1），B（-2，0），C（

5

，1）在圓上
∴

1+1+D-E+F=0 4+0-2D+F=0 5+1+ 5 D+E+F=0

，解之得

D=0 E=-2 F=-4

因此，圓的方程為x²+y²-2y-4=0；…（4分）
（2）將圓化成標準方程，得x²+（y-1）²=5
∴圓心是（0，1），半徑為r=

5

∵直線l：mx-y+1-m=0恒過點P（1，1），
而P點滿足：1²+（1-1）²＜5，說明點P在圓內(nèi)
∴?m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；…（8分）
（3）∵圓心（0，1），半徑為r=

5

，
∴圓心到直線l的距離d=

|-m|

m2+1

=

|m|

m2+1

又∵|MN|=2

r2-d2

∴

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=2

5-( |m| m2+1 )2

，解之得m=

3

或-

3

．…（12分）

點評：本題求三角形的外接圓方程，并求外接圓與直線l的位置關(guān)系，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．