Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x•lnx+ax，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對?x＞1，f（x）＞（b+a-1）x-b恒成立，求整數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=1時，f（x）=x•lnx+x（x＞0）．f（1）=1．f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．利用點斜式即可得出．
（2）對?x＞1，f（x）＞（b+a-1）x-b恒成立，?b＜$（\frac{xlnx+x}{x-1}）_{min}$．令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{（lnx+2）（x-1）-（xlnx+x）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$．令h（x）=x-lnx-2，x＞1．L利用導(dǎo)數(shù)可知：函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．h（x）＞h（1）=-1，因此函數(shù)h（x）存在唯一零點x₀∈（3，4），x₀-lnx₀-2=0．可得x=x₀時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，代入可得b＜x₀．即可得出．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x•lnx+x（x＞0）．f（1）=1．
f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y-1=2（x-1），
化為：2x-y-1=0．
（2）對?x＞1，f（x）＞（b+a-1）x-b恒成立，?b＜$（\frac{xlnx+x}{x-1}）_{min}$．
令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{（lnx+2）（x-1）-（xlnx+x）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$．
令h（x）=x-lnx-2，x＞1．
h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，可知：函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）＞h（1）=-1，
因此函數(shù)h（x）存在唯一零點x₀∈（3，4），x₀-lnx₀-2=0．
使得g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x=x₀時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，
∴b＜$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=x₀．
因此整數(shù)b的最大值為3．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、函數(shù)的零點，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．