Question

設拋物線Γ：y²=2px（p＞0）過點（t，

2t

）（t是大于0的常數(shù)）．
（Ⅰ）求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）若F是拋物線Γ的焦點，斜率為1的直線交拋物線Γ于A，B兩點，x軸負半軸上的點C，D滿足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直線AC，BD相交于點E，當

S△AEF•S△BEF

S△ABF2

=

5

8

時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線R：y²=2px（p＞0）過點（t，

2t

），求出p，即可得出拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=x-m代入拋物線方程，可得x²-2（m+1）x+m²=0，求出直線AC、BD的方程，可得E的坐標，求出相應三角形的面積，利用

S△AEF•S△BEF

S△ABF2

=

5

8

，即可求直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線R：y²=2px（p＞0）過點（t，

2t

），
∴2t=2pt，
∴p=1，
∴拋物線R的方程為y²=2x；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=x-m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線方程代入拋物線方程，可得x²-2（m+1）x+m²=0，
△=8m+4＞0，∴m＞-

1

2

，
x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²，
∴|x₁-x₂|=2

2m+1

，y₁+y₂=2，y₁y₂=-2m，
∵|FA|=|FC|，∴x_C=-x₁，
∴k_AC=

y1

2x1

=

1

y1

，直線AC的方程為x-y₁y+x₁=0，①
同理直線BD的方程為x-y₂y+x₂=0，②
由①②可得E（-m，1），
∴S_△AEF=

1

2

（

1

2

+x₁）（y₁-1），S_△BEF=

1

2

（

1

2

+x₂）（y₂-1），
∴S_△AEFS_△BEF=

1

16

[（2m+1）²+4]（2m+1），
在△ABF中，|AB|=

2

|x₁-x₂|=2

2

2m+1

，
F到直線AB的距離為d=

|2m-1|

2 2

，
∴S_△ABF=

1

2

2m+1

|2m-1|
∵

S△AEF•S△BEF

S△ABF2

=

5

8

，
∴

1

4

•

(2m+1)2+4

(2m-1)2

=

5

8

，
∴m=

5

2

或m=-

1

6

，
∴直線AB的方程為y=x-

5

2

或y=x+

1

6

．

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．