Question

【題目】已知拋物線與斜率為且過拋物線焦點的直線交于、兩點，滿足弦長.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為拋物線上任意一點，為拋物線內(nèi)一點，求的最小值，以及此時點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為，此時點的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，可得，進而得到拋物線的方程；

（2）過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，運用拋物線的定義和三點共線取得最小值，可得所求的坐標(biāo)．

（1）斜率為且過拋物線焦點的直線的方程為，

聯(lián)立拋物線，可得，

設(shè)、，可得，

由弦長公式可得，可得，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，

由拋物線的定義可得，

則最小值為到準(zhǔn)線的距離，所以，

此時的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，可得.