如圖,曲線段C是函數(shù)(x≥0)的圖象,C過點P1(1,1).過P1作曲線C的切線交x軸于Q1點,過Q1作垂直于x軸的直線交曲線C于P2點,過P2的切線交x軸于Q2點,…,如此反復,得到一系列點Q1,Q2,…,Qn,設(shè)Qn(an,0).
(1)求a1
(2)求an的表達式;
(3)證明:(n∈N*).

【答案】分析:(1)求導函數(shù),求得過P1切線方程,即可求得a1;
(2)確定過的切線方程,利用直線過Qn+1(an+1,0),可得an的表達式;
(3)證明,累加即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:,則…(2分)
過P1切線方程:,可得,則.    …(4分)
(2)解:,過的切線方程:,…(6分)
該直線過Qn+1(an+1,0),則
化簡得,則…(8分)
(3)證明:,…(9分)
而4n+1>2•2n=2n+1,故…(11分)
所以==
所以…(14分)
點評:本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查數(shù)列的通項,考查不等式的證明,確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,曲線段C是函數(shù)y=x
4
3
(x≥0)的圖象,C過點P1(1,1).過P1作曲線C的切線交x軸于Q1點,過Q1作垂直于x軸的直線交曲線C于P2點,過P2的切線交x軸于Q2點,…,如此反復,得到一系列點Q1,Q2,…,Qn,設(shè)Qn(an,0).
(1)求a1;
(2)求an的表達式;
(3)證明:
1
a1+1
+
1
a2+1
+…
1
an+1
>n-
1
2
+(
1
2
)n+1
(n∈N*).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案