Question

（2012•河北模擬）如圖，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱柱C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）求直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A₁D⊥平面ABCD，可得A₁D為兩個底面的距離即三棱錐C-A₁B₁C₁的高，再利用三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

S△A1B1C1×A1D計算公式即可得出；
（Ⅱ）通過建立如圖所示的空間直角坐標系，先求出平面ADB₁的法向量，利用BD₁的方向向量與其法向量的夾角即可得出線面角．

解答：解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABCD，∴A₁D⊥AD，A₁D即為兩個底面的距離．
在Rt△A₁DA中，∠A1DA=90°，AA₁=2，AD=1，
由勾股定理得A1D=

22-12

=

3

．
又S△A1B1C1=

1

2

×1×1=

1

2

．
∴三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

S△A1B1C1×A1D=

1

3

×

1

2

×

3

=

3

6

；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
A₁（0，0，

3

），B₁（0，1，

3

），D₁（-1，0，

3

），C₁（-1，1，

3

）．
∴

BD1

=(-2，-1，

3

)，

DA

=(1，0，0)，

DB1

=(0，1，

3

)．
設平面ADB₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • DA =0 n • DB1 =0

，即

x=0 y+ 3 z=0

，
令z=1，則y=-

3

，x=0，∴

n

=(0，-

3

，1)．
設直線BD₁與平面ADB₁所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

BD1

＞|=

| DB1 • n |

| DB1 | | n |

=

2 3

(-2)2+(-1)2+( 3 )2 0+(- 3 )2+12

=

6

4

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系的方法求空間角、空間距離、線面垂直的判定與性質、三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．