Question

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記,,
 .
（1）若，且對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.
（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）由三個數(shù)是等差數(shù)列，可得.根據(jù)定義可知即。變形為 ，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列。從而可得其通項公式。（2）若對于任意，三個組成公比為的等比數(shù)列，則，由得將上式變形整理根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有.根據(jù)已知可證得＝，從而三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.
解: （1)因為對任意，三個數(shù)是等差數(shù)列，
所以.                             1分
所以,                                        2分
即.                                      3分
所以數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列.                   4分
所以.                                  5分
（2）（１）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則
.                       6分
所以得    
即.                                       7分
因為當(dāng)時，由可得，                   8分
所以.
因為，
所以.                                         
即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，                  9分
（２）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有
.                                                 10分
因為，
所以均大于.于是
                 11分
               12分
即＝＝，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.   13分
綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.                  14分