Question

在平面內(nèi)，設(shè)到定點F（0，2）和x軸距離之和為4的點P軌跡為曲線C，直線l過點F，交曲線C于M，N兩點．
（1）說明曲線C的形狀，并畫出圖形；
（2）求線段MN長度的范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,兩點間的距離公式

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)動點P（x，y），利用到定點F（0，2）和x軸距離之和為4，建立方程，分類討論，化簡可得方程，從而說明曲線C的形狀，并畫出圖形；
（2）分類討論，利用當l過BD時，|MN|最小，最小值為4，當l過C（或A）時，|MN|最大，即可求線段MN長度的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)動點P（x，y），由已知得：

x2+(y-2)2

+|y|=4   （1分）
當y≥0時，化簡得：x²=-4（y-3）
當y＜0時，化簡得：x²=12（y+1）（3分）
∴如圖：曲線C是焦點在F（0，2），準線分別為y=-4和y=4，頂點分別是（0，-1）和（0，3）的兩條拋物線一部分組成的封閉圖形ABCD…（6分）
（2）當M、N在兩支拋物線上時，過M、N分別作相應(yīng)準線的垂線，垂足分別是M₁、N₁，由拋物線定義，MM₁=MF；NN₁=NF，
設(shè)M、N的縱坐標分別為y₁，y₂，|MN|=8-（|y₁|+|y₂|）
當l過BD時，|MN|最小，最小值為4，
當l過C（或A）時，|MN|最大，
此時直線l的方程為-x+

3

y=2

3

和拋物線x²=-4（y-3）
另一個交點M（

2

3

，

8

3

），|MN|最大值為

16

3

，
∴|MN|范圍是[4，

16

3

]（10分）
同理，當M、N都在上支拋物線上時，|MN|范圍也是[4，

16

3

]
∴由上綜述：|MN|范圍是[4，

16

3

]（13分）

點評：本題考查軌跡與軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．