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12.已知數(shù)列{an}滿足an=1,且an=3an-1+3n(n≥2且n∈N*
(1)求證:數(shù)列{an3n}是等差數(shù)列:
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:
(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn3n32n-74

分析 (1)通過將an=3an-1+3n(n≥2且n∈N*)兩邊同時(shí)除以3n,進(jìn)而整理即得結(jié)論;
(2)通過(1)可知{an3n}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論;
(3)通過(2),利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論.

解答 (1)證明:∵an=3an-1+3n(n≥2且n∈N*),
an3n=an13n1+1,
又∵a131=13,
∴數(shù)列{an3n}是首項(xiàng)為13、公差為1的等差數(shù)列;
(2)解:由(1)可知an3n=13+(n-1)=n-23,
∴an=(n-23)•3n=3n23•3n;
(3)證明:由(2)可知:
Sn=13•3+43•32+73•33+…+3n23•3n,
3Sn=13•32+43•33+…+3n53•3n+3n23•3n+1,
兩式相減得:-2Sn=1+32+33+…+3n-3n23•3n+1
=1+3213n113-3n23•3n+1
=-72-6n72•3n
∴Sn=74+6n74•3n,
Sn3n=743n+6n746n74=32n-74

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查錯(cuò)位相減法,對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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