Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=1，且a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2且n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是等差數(shù)列：
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{{S}_{n}}{{3}^{n}}$＞$\frac{3}{2}n$-$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通過將a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2且n∈N^*）兩邊同時(shí)除以3ⁿ，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（3）通過（2），利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2且n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$、公差為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）=n-$\frac{2}{3}$，
∴a_n=（n-$\frac{2}{3}$）•3ⁿ=$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ；
（3）證明：由（2）可知：
S_n=$\frac{1}{3}$•3+$\frac{4}{3}$•3²+$\frac{7}{3}$•3³+…+$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ，
3S_n=$\frac{1}{3}$•3²+$\frac{4}{3}$•3³+…+$\frac{3n-5}{3}$•3ⁿ+$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2S_n=1+3²+3³+…+3ⁿ-$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ⁺¹
=1+$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-$\frac{3n-2}{3}$•3ⁿ⁺¹
=-$\frac{7}{2}$-$\frac{6n-7}{2}$•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{7}{4}$+$\frac{6n-7}{4}$•3ⁿ，
∴$\frac{{S}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{7}{4•{3}^{n}}$+$\frac{6n-7}{4}$＞$\frac{6n-7}{4}$=$\frac{3}{2}n$-$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．