Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+m²+4m-2．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上有最小值-3，求實數(shù)m的值．

Answer 1

解：f（x）=（x-m）²+4m-2．
（1）由f（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，得m≥1．
故實數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．
（2）①當(dāng)m＜0時，f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（0）=m²+4m-2=-3．
解得m=-2-，或m=-2+；
②當(dāng)0≤m≤1時，f（x）_min=f（m）=4m-2=-3，解得m=-（舍）；
③當(dāng)m＞1時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（1）=m²+2m-1=-3．無解；
綜上，實數(shù)m的值是-2±．
分析：（1）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，知[0，1]為函數(shù)f（x）減區(qū)間的子集，由此可得m的取值范圍；
（2）對m分類討論，求出f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值，使其等于-3，解出即可；
點評：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，考查分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．