Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，且f（x）在區(qū)間（-∞，0]上遞減，且有f（a+1）＞f（2a-1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：該函數(shù)是抽象函數(shù)，解不等式f（a+1）＞f（2a-1）的關(guān)鍵是脫去“f”，可根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)在[0，+∞）上的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答：解：∵f（x）-f（-x）=0
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（a+1）=f（|a+1|），f（2a-1）=f（|2a-1|），
  又f（x）在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減，故函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)
∵f（a+1）＞f（2a-1），
∴f（|a+1|）＞f（|2a-1|）
∴|a+1|＞|2a-1|，
兩邊平方得（a+1）²＞（2a-1）²即a（a-2）＜0
解得0＜a＜2．
實(shí)數(shù)a的取值范圍0＜a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．