Question

已知點(diǎn)F₁和F₂是橢圓M：的兩個焦點(diǎn)，且橢圓M經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l和橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)P（0，2）的直線和橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C，求證：直線CB必過y軸上的定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由條件得：c=，設(shè)橢圓的方程，
把代入得，解得a²=4，
所以橢圓方程為．
（2）斜率不存在時，不適合條件；
設(shè)直線l的方程y=kx+2，點(diǎn)B（x₁，y₁），點(diǎn)A（x₂，y₂），
代入橢圓M的方程并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得．
且．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/178543.png' />，即，所以．
代入上式得，解得k=±1，
所以所求直線l的方程：y=±x+2．
（3）設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，點(diǎn)B（x₁，y₁），點(diǎn) A（x₂，y₂），C（-x₂，y₂）．
把直線AB方程代入橢圓M：，并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得．
且．
設(shè)直線CB的方程為：，
令x=0得：．
把代入上式得：．
所以直線CB必過y軸上的定點(diǎn)，且此定點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)直線斜率不存在時，也滿足過定點(diǎn)的條件．
分析：（1）利用b²=a²-c²及點(diǎn)滿足橢圓的方程即可得出．
（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等即可求出；
（3）設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其對稱性得出直線BC的方程即可．
點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識與方法；需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．