Question

已知函數f(x)=px-

p

x

-2lnx，p∈R．
（ I）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（ II） 若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；
（ III）設函數g(x)=f(x)+

2p+2

x

，求函數g（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）當p=2時，函數f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，由此能求出曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（ II） f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（x＞0）因為f（x）在定義域內是增函數，所以?x∈（0，+∞），f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，由此能求出正實數p的取值范圍．
（ III）由g(x)=px+

p+2

x

-2lnx（x＞0），知g′(x)=

px2-2x-2-p

x2

=

(px-2-p)(x+1)

x2

，由此進行分類討論，能求出函數g（x）的單調區(qū)間．

解答：（本小題共14分）
解：（I）當p=2時，函數f(x)=2x-

2

x

-2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0，
f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，…（1分）
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．…（2分）
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即y=2x-2．…（3分）
（ II） f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（x＞0）…（4分）
因為f（x）在定義域內是增函數，
所以?x∈（0，+∞），
f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．…（5分）
g′(x)=

-2(x+1)

x2

＜0
即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立．…（6分）
而∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，
∴

2

x+ 1 x

≤1（當且僅當x=1時取等號），…（7分）
∴

2x

x2+1

≤1，∴P≥1．…（8分）
（ III）g(x)=px+

p+2

x

-2lnx（x＞0），
g′(x)=

px2-2x-2-p

x2

=

(px-2-p)(x+1)

x2

…（9分）
（1）當p=0時，總成立，g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）…（10分）
當p≠0時，g′(x)=

p[x-( 2 p +1)](x+1)

x2

（2）當p＞0時，遞增區(qū)間為(

2

p

+1，+∞)g（x）的單調遞減區(qū)間為(0，

2

p

+1)，…（11分）
（3）當p=-2時，g′(x)=

-2x(x+1)

x2

＜0總成立，g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）…（12分）
（4）當-2＜p＜0時，g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）…（13分）
（5）當p＜-2時，遞增區(qū)間為(0，

2

p

+1)，遞減區(qū)間為(

2

p

+1，+∞)…（14分）

點評：本題考查切線方程的求法，正實數的取值范圍的求法，求函數的單調區(qū)間，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．