Question

函數(shù)f（x）=x-alnx+

a+1

x

（a＞0）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求使函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的最小正整數(shù)a的值；
（3）證明：ln（n!）-ln2＞

6n3-n2-19n-6

12n(n+1)

（n∈N^*，n≥3）．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求f_min=f（a+1）=a+2-aln（a+1），再利用f（x）有零點(diǎn)，可得ln（a+1）-（1+

2

a

）≥0，構(gòu)建函數(shù)u（a）=ln（a+1）-（1+

2

a

），易知u（a）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，從而可求函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的最小正整數(shù)a的值；
（3）先證明ln（a+1）≥（1+

2

a

），進(jìn)而有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n∈N^*，n≥3），從而可得ln3+ln4+…+lnn＞

1

2

（n-2）+

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)，故可得證．

解答：（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=1-

a

x

-

a+1

x2

=

[x-(a+1)](x+1)

x2

（2分）
∵x＞0，a＞0，
∴由f′（x）≥0得x≥a+1，f′（x）≤0得x≤a+1，
∴f（x）在（0，a+1）上遞減，在（a+1，+∞）上遞增．（4分）
（2）解：∵a∈N^*，∴由（1）知f_min=f（a+1）=a+2-aln（a+1）
∵f（x）有零點(diǎn)，
∴有a+2-aln（a+1）≤0，得ln（a+1）-（1+

2

a

）≥0
令u（a）=ln（a+1）-（1+

2

a

），易知u（a）在定義域內(nèi)是增函數(shù)；（6分）
∵u（3）=ln4-

5

3

＜0，∴ln4＜

5

3

，∴4＜e

5

3

，∴4³＜e⁵，而e⁵＞4³成立，∴u（3）＜0
u（4）=ln5-

3

2

＞0，∴5²＞e³，而5²＞e³成立，∴u（4）＞0
故使函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的最小正整數(shù)a的值為4．（8分）
（3）證明：由（2）知ln（a+1）-（1+

2

a

）≥0，即ln（a+1）≥（1+

2

a

），（a≥4），
∴l(xiāng)nn＞1+

2

n-1

（n∈N^*，n≥5），ln（n²）＞1+

2

n2-1

）（n∈N^*，n≥3），
即lnn＞

1

2

+

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n∈N^*，n≥3），（11分）
∴l(xiāng)n3+ln4+…+lnn＞

1

2

（n-2）+

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)
即ln

n!

2

＞

6n3-n2-19n-6

12n(n+1)

∴l(xiāng)n（n!）-ln2＞

6n3-n2-19n-6

12n(n+1)

（n∈N^*，n≥3）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式的證明，用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．