【題目】已知點，橢圓 的離心率為是橢圓的右焦點，直線的斜率為為坐標原點．

(1)求的方程；

(2)設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用離心率求出c,再由離心率求出a，結合隱含條件求得b,則橢圓方程可求；（2）當l⊥x軸時不合題意，設l：y＝kx－2，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出P、Q的橫坐標，代入弦長公式求得|PQ|，再由點到直線的距離求O到PQ的距離，帶入三角形面積公式，換元后利用均值不等式求最值，從而求解．

試題解析：(1)設F(c,0)，由條件知， ，得c＝.

又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程為.

(2)當l⊥x軸時不合題意，

故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

將y＝kx－2代入中，

得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時，

由根與系數(shù)的關系得：

x1＋x2＝，x1x2＝.

從而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又點O到直線PQ的距離d＝.

所以△OPQ的面積S△OPQ＝d·|PQ|＝.

設＝t，則t>0，S△OPQ＝.

因為t＋≥4，當且僅當t＝2，

即k＝時等號成立，且滿足Δ>0.

所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為. 或

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓： （）的左右焦點分別為， ，下頂點為，直線的方程為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設為橢圓上異于其頂點的一點， 到直線的距離為，且三角形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓相切，過焦點， 分別作， ，垂足分別為， ，求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中， ， ， ， ， ， ，且平面．

（1）設平面平面，求證： ．

（2）求證： ．

（3）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓．

（1）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求此切線的方程．

（2）從圓外一點向該圓引一條切線，切點為， 為坐標原點，且有，求使得取得最小值的點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知平面內(nèi)的動點P到定直線l：x＝的距離與點P到定點F(，0)之比為.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)若點N為軌跡C上任意一點(不在x軸上)，過原點O作直線AB，交(1)中軌跡C于點A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1·k2是否為定值？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐中，平面，，，是的中點，是的中點，點在上，.

（1）證明：平面；

（2）若，求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是 ，
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”．

（Ⅰ）已知數(shù)列：1，m+1，m2是“K數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在首項為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項和滿足

？若存在，求出的通項公式；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為，最小距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案