Question

13．已知定點(diǎn)A（-5，0），B（5，4），點(diǎn)P為雙曲線$C：\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$右支上任意一點(diǎn)，則|PB|-|PA|的最大值為-4．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為F₂，根據(jù)雙曲線的定義可知|PB|-|PA|=|PB|-|PF₂|-2a，進(jìn)而可知當(dāng)P、F₂、B三點(diǎn)共線時有最大值，根據(jù)雙曲線方程可求的F₂的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得答案．

解答 解：由雙曲線$C：\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，可知A（-5，0），是雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為F₂，
則|PB|-|PA|=|PB|-|PF₂|-2a，|PB|-|PF₂|≤|BF₂|，
當(dāng)P、F₂、B三點(diǎn)共線時有最大值|BF₂|=4，而對于這個雙曲線，2a=8，
所以最大值為4-8=-4．
故答案為-4．

點(diǎn)評 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．解題的過程靈活運(yùn)用了雙曲線的定義和用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題．