Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間
（3）當x∈[0，$\frac{π}{12}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值時x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，求出φ，得到函數(shù)的解析式，即可得解．
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z即可解得f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（3）由$x∈[0，\frac{π}{12}]$，可求2x+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解最大值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵A＞0，ω＞0，
∴由圖象知A=2，…（1分）
由于f（x）的最小正周期$T=4×（\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}）=π$，故$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（3分）
將點$（\frac{π}{6}，2）$代入f（x）的解析式得：$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
又$|φ|＜\frac{π}{2}$，
可得：$φ=\frac{π}{6}$，…（5分）
故函數(shù)f（x）的解析式為：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，…（8分）
得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z，
所以減區(qū)間為：$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ}]（{k∈Z}）$．…（10分）
（3）當$x∈[0，\frac{π}{12}]$時，可得：$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，…（12分）
所以當$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，即$x=\frac{π}{12}$時，f（x）的最大值$\sqrt{3}$．…（14分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時要注意函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，是�？碱}型，屬于基礎(chǔ)題．