Question

18．過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$
• B． $（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$
• C． $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}}）$
• D． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}}]$

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=kx，與雙曲方程聯(lián)立，得：x²（3k²-1）-9=0，因?yàn)橹本�與雙曲有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△=36（3k²-1）＞0，由此能求出k的范圍，再由直線的斜率公式可得傾斜角的范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$，即為$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=kx，
與雙曲方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{3{y}^{2}-{x}^{2}=9}\end{array}\right.$，
得：x²（3k²-1）-9=0，
因?yàn)橹本�與雙曲有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△=36（3k²-1）＞0，
∴k²＞$\frac{1}{3}$，
解得k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由直線的斜率公式k=tanα（0≤α＜π，且α≠$\frac{π}{2}$），
可得α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$）；
當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時(shí)，直線為y軸，顯然與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．