Question

【題目】在三棱錐A﹣BCD中，點A在BD上的射影為O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2 ，AC= ．

（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）若E是AC的中點，求直線BE和平面BCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，由點A在BD上的射影為O，可得

AO⊥BD，

由∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2 ，可得

BD= =4，AO= = = ，

同理可得CO= ，由AO2+CO2=AC2，可得AO⊥CO，

又BD，CO平面BCD，且BD，CO為相交二直線，

可得AO⊥平面BCD；

（2）解：取CO的中點H，連接EH，

由中位線定理可得EH∥AO，EH= AO，

由AO⊥平面BCD，可得EH⊥平面BCD，

即有∠EBH為直線BE和平面BCD所成角．

又EH= ，BE= = = ，

BH= = = ，

可得tan∠EBH= = ．

即有直線BE和平面BCD所成角的正切值為 ．

【解析】（1）連接OC，由題意可得AO⊥BD，由勾股定理的逆定理可得AO⊥CO，運用線面垂直的判定定理，即可得證；（2）取CO的中點H，連接EH，運用中位線定理和線面垂直的性質(zhì)定理，可得EH⊥平面BCD，即有∠EBH為直線BE和平面BCD所成角．運用正切函數(shù)的定義，計算即可得到所求值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．