Question

4．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A，B是圓（x+c）²+y²=4c²與C位于x軸上方的兩個交點，且F₁A∥F₂B，則雙曲線C的離心率為$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$．

Answer 1

分析 連接BF₁，AF₂，由雙曲線的定義，可得|AF₂|=2a+2c，|BF₂|=2c-2a，在△AF₁F₂中，和△BF₁F₂中，運用余弦定理求得cos∠AF₁F₂，os∠BF₂F₁，由F₁A∥F₂B，可得∠BF₂F₁+∠AF₁F₂=π，即有cos∠BF₂F₁+cos∠AF₁F₂=0，化簡整理，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：連接BF₁，AF₂，
由雙曲線的定義，可得|AF₂|-|AF₁|=2a，
|BF₁|-|BF₂|=2a，
由|BF₁|=|AF₁|=2c，
可得|AF₂|=2a+2c，|BF₂|=2c-2a，
在△AF₁F₂中，可得cos∠AF₁F₂=$\frac{4{c}^{2}+4{c}^{2}-（2a+2c）^{2}}{2•2c•2c}$=$\frac{{c}^{2}-2ac-{a}^{2}}{2{c}^{2}}$，
在△BF₁F₂中，可得cos∠BF₂F₁=$\frac{4{c}^{2}+（2c-2a）^{2}-4{c}^{2}}{2•2c•（2c-2a）}$=$\frac{c-a}{2c}$，
由F₁A∥F₂B，可得∠BF₂F₁+∠AF₁F₂=π，即有cos∠BF₂F₁+cos∠AF₁F₂=0，
可得$\frac{{c}^{2}-2ac-{a}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{c-a}{2c}$=0，化為2c²-3ac-a²=0，
得2e²-3e-1=0，解得e=$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$（負的舍去），
故答案為：$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和三角形的余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．