Question

2．從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），有C_n+1^m種取法．在這C_n+1^m種取法中，可分兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，有C₁⁰C_n^m種取法；另一類是取出1個(gè)黑球、m-1個(gè)白球，有C₁¹C_n^m-1種取法，所以有式子：C₁⁰C_n^m+C₁¹C_n^m-1=C_n+1^m成立．根據(jù)上述思想方法化簡下列式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k-1•C_n^m-k+1+C_n^m-k=${C}_{n+k}^{m}$（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）．

Answer 1

分析 g根據(jù)題意，在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k-1•C_n^m-k+1+${C}_{n}^{m-k}$中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，再根據(jù)排列組合公式，即可得出答案．

解答 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k-1•C_n^m-k+1+${C}_{n}^{m-k}$中，
從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：
從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，
故從裝有n+k個(gè)球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)${C}_{n+k}^{m}$．
故答案為：${C}_{n+k}^{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了推理與排列組合的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項(xiàng)所表示的含義，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，即可得出正確的答案．