Question

已知函數(shù)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k²，b=（k+c）²時，記f（x）=f₁（x）；當(dāng)a=（k+c）²，b=（k+2c）²時，記f（x）=f₂（x）．
求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=1，b=2時，=（x²+）-2（）+2，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用單調(diào)性，可求f（x）的最小值；
（2）f（x）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，等價于f（x）_min≥2^m-1，函數(shù)可化為=-2（）-+2，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）利用基本不等式可得（a²+b²）≥，從而可得＞＞2，利用條件再利用基本不等式，即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=2時，=（x²+）-2（）+2
令=t（t≥2），y=t²-2t-2=（t-1）²-3
∴函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)增，∴y≥6-4
∴f（x）的最小值為6-4；
（2）f（x）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，等價于f（x）_min≥2^m-1
=-2（）-+2
令=t（t≥），則y=t²-2t-+2
∴函數(shù)在[，+∞）上單調(diào)增，∴y≥＞0
∴0≥2^m-1
∴m≤0；
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190459965784648/SYS201310241904599657846022_DA/30.png">（a²+b²）≥，所以＞＞2
當(dāng)a=k²，b=（k+c）²時，=；當(dāng)a=（k+c）²，b=（k+2c）²時，=
所以f₁（x）+f₂（x）＞2（）²+2（）²）＞（因?yàn)?＜a＜b，所以等號取不到）
點(diǎn)評：本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，多次應(yīng)用了基本不等式，注意等號成立的條件．