Question

已知二次函數f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，且|AB|=2

3

，它在y軸上的截距為4，對任意的x都有f（x+1）=f（1-x）．（1）求f（x）的表達式；（2）若二次函數的圖象都在直線l：y=x+c下方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數法求參數，將題設條件逐個轉化，對任意的x都有f（x+1）=f（1-x）轉化為對稱軸為x=1，在y軸上的截距為4轉化為圖象過（0，4）點，圖象與x軸交于A，B兩點，且|AB|=2

3

可以得到兩根差的絕對值等于3，依次將這三個關系用參數表示出來求參數．
（2）二次函數的圖象都在直線l：y=x+c下方，即橫坐標相同時，二次函數圖象上點的縱坐標都小于等于直線上相應點的縱坐標，利用此關系建立相應的不等式，此不等式為關于x的一元二次不等式，下據具體情況將此不等式恒成立的問題等價轉化為參數c的不等式即可．

解答：解：（1）∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的對稱軸為x=1，
又f（x）為二次函數，可設f（x）=a（x-1）²+k（a≠0）．
又當x=0時，y=4，∴a+k=4，得f（x）=a（x-1）²+4．令f（x）=0得a（x-1）²+4=0，
∴x=1±

a-4 a

（

a-4

a

≥0）
∴|AB|=2

a-4 a

，又|AB|=2

3

，
∴

a-4 a

=

3

，∴a=-2，
∴f（x）=-2x²+4x+4
（2）由條件知-2x²+4x+4≤x+c在x?R恒成立，即2x²-4x-4+c≥0對x?R恒成立，
∴△=9+8（4-c）≤0，∴c≥

41

8

∴c的取值范圍是[

41

8

，+∞)

點評：本題考點是二次函數的性質，屬于二次函數性質的綜合應用題，第一小題頭緒繁多，第二小題轉化方式隱蔽，對抽象思緒要求較高，極好地考查了依據相關知識進行靈活轉化的技能．對本題的轉化依據與轉化方式要認真分析，作為以后解題的借鑒．