Question

12．已知雙曲線C的兩條漸近線為l₁，l₂，過右焦點F作FB∥l₁且交l₂于點B，過點B作BA⊥l₂且交l₁于點A，若AF⊥x軸，則雙曲線C的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），漸近線方程為l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x，由x=c代入l₁的方程可得A的坐標；由兩直線平行的條件可得直線FB的方程，聯(lián)立直線l₂的方程可得B的坐標，再由BA⊥l₂，運用直線的斜率公式和垂直的條件：斜率之積為-1，結合離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
漸近線方程為l₁：y=$\frac{a}$x，l₂：y=-$\frac{a}$x，
由題意可設F（c，0），由AF⊥x軸，
令x=c，代入l₁的方程可得y=$\frac{bc}{a}$，
即有A（c，$\frac{bc}{a}$），
過右焦點F作FB∥l₁且交l₂于點B，
由FB的方程y=$\frac{a}$（x-c），聯(lián)立直線l₂：y=-$\frac{a}$x，
解得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
再由BA⊥l₂，可得k_AB=$\frac{a}$，
即有$\frac{\frac{bc}{a}-（-\frac{bc}{2a}）}{c-\frac{c}{2}}$=$\frac{a}$，
化為a²=3b²，由b²=c²-a²，可得：
c²=$\frac{4}{3}$a²，由e=$\frac{c}{a}$可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，直線平行和垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．