Question

12．設在橢圓$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$ （φ為參數）上的兩個動點P₁，P₂所對應的參數分別為φ₁，φ₂，且φ₁-φ₂=$\frac{π}{3}$，求線段P₁P₂的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 分別設出P₁（2cosφ₁，4sinφ₁），P₂（2cosφ₂，4sinφ₂），得到線段P₁P₂的中點M的軌跡的參數方程，消去參數得答案．

解答 解：設P₁（2cosφ₁，4sinφ₁），P₂（2cosφ₂，4sinφ₂），
線段P₁P₂的中點M（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{1}+cos{φ}_{2}①}\\{y=2（sin{φ}_{1}+sin{φ}_{2}）②}\end{array}\right.$，
由①得$x=2cos\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}cos\frac{{φ}_{1}-{φ}_{2}}{2}$，③
由②得$y=4sin\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}cos\frac{{φ}_{1}-{φ}_{2}}{2}$，④
∵φ₁-φ₂=$\frac{π}{3}$，
∴由③得$x=\sqrt{3}cos\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}$，⑤
由④得$y=2\sqrt{3}sin\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}$，⑥
消去參數得：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

點評 本題考查了參數方程與中點坐標公式、兩點之間的距離公式、同角三角函數的基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．