已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，并且a1=a（0＜a＜1），an+1=
an
1+an
(n∈N*)，求證：
（1）若0＜an＜1，則0＜an+1＜
1
2
；
（2）an=
a
1+(n-1)a
；
（3）
a1
2
+
a2
3
+
a3
4
+…+
an
n+1
＜1．
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)y=
x
1+x
，利用函數(shù)在（0，1）的單調(diào)性證明數(shù)列．
（2）將條件），an+1=
an
1+an
(n∈N*)，取倒數(shù)，構(gòu)造新的等差數(shù)列，利用構(gòu)造的數(shù)列求通項公式．
（3）利用放縮法證明不等式．
解答：解：（1）因為y=
x
1+x
=1-
1
x+1
 所以，函數(shù)y=
x
1+x
（0＜x＜1）是增函數(shù)，
由已知an+1=
an
1+an
(n∈N*)，0＜an＜1  所以0＜an-1＜
1
2
．
（2）因為an+1=
an
1+an
(n∈N*)，所以
1
an+1
=
1+an
an
=1+
1
an
，即
1
an+1
-
1
an
=1，即數(shù)列{
1
an
}是首項為
1
a
，公差為1的等差數(shù)列
所以
1
an
=
1
a
+(n-1)，所以an=
a
1+(n-1)a
，n∈N•．
（3）由已知an=
a
1+(n-1)a
=
1
1
a
+n-1
＜
1
n
，（∵0＜a＜1）
所以
a1
2
+
a2
3
+…+
an
n+1
＜
1
1×2
+
1
2×3
+…
1
n(n+1)
=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
＜1．
所以不等式成立．
點評：本題考查了數(shù)列和不等式的綜合，運算量較大，綜合性較強，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列問題是解決問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p為大于1的常數(shù)），則an=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，觀察下面的程序框圖
（1）若d≠0，分別寫出當(dāng)k=2，k=3時s的表達式．
（2）當(dāng)輸入a1=d=2，k=100 時，求s的值（ 其中2的高次方不用算出）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•資陽一模）已知數(shù)列{an}各項為正數(shù)，前n項和Sn=
1
2
an(an+1)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=
3an
2
b
2
n
，數(shù)列{cn}前n項和為Tn，求證：Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p≠±1的常數(shù)），記f(n)=
1+
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an
2nSn
．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
f(n+1)
f(n)
；
（Ⅲ）當(dāng)p＞1時，設(shè)bn=
p+1
2p
-
f(n+1)
f(n)
，求數(shù)列{pk+1bkbk+1}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，滿足n
a
2
n
+(1-n2)a n-n=0．
（1）計算a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
an
2n
}的前n項和Sn．

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