Question

15．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)．已知f（x）=x²+bx+c．
（1）若f（x）有兩個不動點(diǎn)為-3，2，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
（2）若c=$\frac{b^2}{4}$時，函數(shù)f（x）沒有不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若對任意的b∈R，函數(shù)y=f（x）都有兩個相異的不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）理解不動點(diǎn)的定義，說明-3，2是方程x²+（b-1）x+c=0的兩個根；
（2）函數(shù)f（x）沒有不動點(diǎn)，即即方程x²+bx+$\frac{^{2}}{4}$=0無根；
（3）對于任意的b∈R，方程 x²+（b-1）x+c=0 有兩個不同的根，從而△＞0⇒$\frac{（b-1）^{2}}{4}＞\\;c$ c 恒成立．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c有兩個不動點(diǎn)-3，2，即x²+（b-1）x+c=0有兩個根-3，2
代入方程得：b=2，c=-6；
∴f（x）=x²+2x-6
∴函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)即x²+2x-6=0的根$x=-1±\sqrt{7}$
（2）若$c=\frac{^{2}}{4}$時，函數(shù)f（x）沒有不動點(diǎn)，即方程x²+bx+$\frac{^{2}}{4}$=0無根
∴△＜0
∴b＞$\frac{1}{3}$ 或 b＜-1．
（3）對任意的b∈R，函數(shù)y=f（x）都有兩個相異的不動點(diǎn)
即：對于任意的b∈R，方程 x²+（b-1）x+c=0 有兩個不同的根
∴；△△＞0⇒$\frac{（b-1）^{2}}{4}＞\\;c$ c 恒成立
∴$\$$\frac{（b-1）^{2}}{4}$的最小值為0，
∴c＜0
所以，c的取值范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評 本題主要考察了一元二次函數(shù)零點(diǎn)與判別式關(guān)系，以及對新定義的理解，屬創(chuàng)新類型題．