Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AB⊥AD，AD⊥DC．PA⊥底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M為PC的中點，N在AB上，且BN=3AN．
（1）求證：平面PAD⊥平面PDC；
（2）求證：MN∥平面PAD；
（3）求三棱錐C-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥CD，又CD⊥AD得CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PDC；
（2）取PD的中點E，連接ME，AE，則可證四邊形AEMN是平行四邊形，于是MN∥AE，得出MN∥平面PAD；
（3）以三角形BCD為棱錐的底面，則棱錐的高為PA，代入體積公式計算即可．

解答 （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD；
又AD⊥DC，AD?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．
（2）證明：取PD的中點E，連接ME，AE，
∵M，E分別是PC，PD的中點，
∴ME∥CD，且$ME=\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}$，
又AB⊥AD，AD⊥DC，BN=3AN，AB=2，
∴AN∥CD，AN=$\frac{1}{4}AB$=$\frac{1}{2}$，
∴EM∥AN，EM=AN，
∴四邊形MEAN為平行四邊形，
∴MN∥AE，又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（3）解：∵PA⊥底面ABCD，S_△BCD=$\frac{1}{2}×DC×AD$=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
∴V_C-PBD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．