Question

18．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知函數(shù)$f（x）=sin（{2x+B}）+\sqrt{3}cos（{2x+B}）$為偶函數(shù)，$b=f（{\frac{π}{12}}）$
（1）求b；
（2）若a=3，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程關(guān)系進行求解即可．
（2）根據(jù)正弦定理先求出A，然后根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，$f（x）=sin（{2x+B}）+\sqrt{3}cos（{2x+B}）=2sin（{2x+B+\frac{π}{3}}）$
由f（x）為偶函數(shù)可知$B+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，所以$B=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$
又0＜B＜π，故$B=\frac{π}{6}$
所以$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{2}}）=2cos2x{，_{\;}}b=f（{\frac{π}{12}}）=\sqrt{3}$…（6分）
（2）∵$B=\frac{π}{6}$，b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得sinA=$\frac{asinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
當A=$\frac{π}{3}$時，則C=π-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
當$A=\frac{2π}{3}$時，則C=π-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$=，△△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…（12分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的正弦定理的應用以及三角形面積的計算，根據(jù)正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．