Question

某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（1）張三選擇方案甲抽獎(jiǎng)，李四選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，若X≤3的概率為，求；
（2）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，依題意，兩人累計(jì)得分的可能值為，故事件“”的對(duì)立事件為“”，所以所求事件的概率；（2）因?yàn)槊看纬楠?jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，且對(duì)方案甲或方案乙而言，中獎(jiǎng)的概率不變，故對(duì)于張三、李四兩人抽獎(jiǎng)可看成兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，設(shè)張三、李四都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，則X₁～，X₂～B，則累計(jì)得分的期望為E(2X₁)，E(3X₂)，從而比較大小即可.
（1）由已知得，張三中獎(jiǎng)的概率為，李四中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．
記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件為“X＝5”，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051239324568.png" style="vertical-align:middle;" />×，所以＝1－×=，所以 .  6分
（2）設(shè)張三、李四都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，
則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X₁)，
選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X₂)．
由已知可得，X₁～，X₂～B，
所以E(X₁)＝2×＝，E(X₂)＝2×，
從而E(2X₁)＝2E(X₁)＝，E(3X₂)＝3E(X₂)＝6.
若，即，所以；
若，即，所以；
若，即，所以．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案甲或乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望相等.  12分