Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+p•3ⁿ（n∈N^*，p為常數(shù)），a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列．
（1）求p的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

n2

an

，證明b_n≤

4

9

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推思想分別求出a₂=3+3p，a₃=3+12p，由此利用a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，求出p=2．利用疊加法求出a_n=3ⁿ．
（2）b_n=

n2

an

=

n2

3n

．構(gòu)造f（x）=

x2

3x

，利用導數(shù)性質(zhì)求出f（x）_max=f（2）=

4

9

，x∈N^*．由此能證明b_n≤

4

9

．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n+p•3ⁿ（n∈N^*，p為常數(shù)），
∴a₂=3+3p，a₃=3+12p，
∵a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列．∴2a₂+12=a₁+a₃，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a_n+1=a_n+p•3ⁿ，
∴a₂-a₁=2•3，a₃-a₂=2•3²，…，a_n-a_n-1=2•3^n-1，
將這些式子全加起來 得
a_n-a₁=3ⁿ-3，
∴a_n=3ⁿ．
（2）證明：∵{b_n}滿足b_n=

n2

an

，∴b_n=

n2

3n

．
設(shè)f（x）=

x2

3x

，則f′（x）=

2x•3x-ln3•3x•x2

32x

，x∈N^*，
令f′（x）=0，得x=

2

ln3

∈（1，2）
當x∈（0，

2

ln3

）時，f′（x）＞0；當x∈（

2

ln3

，+∞）時，f′（x）＜0，
且f（1）=

1

3

，f（2）=

4

9

，
∴f（x）_max=f（2）=

4

9

，x∈N^*．
∴b_n≤

4

9

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．