Question

16．已知橢圓C_l的方程為$\frac{{x}^{2}}{{4}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{3}^{2}}$=1，橢圓C₂的短軸為C₁的長軸且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）如圖，M、N分別為直線l與橢圓C_l、C₂的一個交點，P為橢圓C₂與y軸的交點，△PON面積為△POM面積的2倍，若直線l的方程為y=kx（k＞0），求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的方程和離心率的定義，即可求出a，b的值，問題得以解決；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由△PON面積為△POM面積的2倍得|ON|=2|OM|，得到|x₁|=2|x₂|，即可得到關于k的方程，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C₁的長軸在x軸上，且長軸長為4，
∴橢圓C₂的短軸在x軸上，且短軸長為4，
設橢圓C₂的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），則有$\left\{\begin{array}{l}{2b=4}\\{\frac{a}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴a=4，b=2，
∴橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由△PON面積為△POM面積的2倍得|ON|=2|OM|，
∴|x₁|=2|x₂|，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y得x=±$\sqrt{\frac{12}{4{k}^{2}+3}}$，
∴|x₁|=$\sqrt{\frac{12}{4{k}^{2}+3}}$，
同理可求得∴|x₂|=$\sqrt{\frac{16}{4{k}^{2}+3}}$，
∴$\sqrt{\frac{16}{4{k}^{2}+3}}$=2$\sqrt{\frac{12}{4{k}^{2}+3}}$，
解得k=±3，
由k＞0，得k=3

點評 本題考查了橢圓的方程和直線和橢圓的位置關系，考查了學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．