Question

函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

，
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；   
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并用定義證明．
（3）解不等式f（2t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（0）=0，且f(

1

2

)=

2

5

，求解．（2）運(yùn)用定義判斷證明，主要是作差分解因式判斷
（3）利用奇偶性，單調(diào)性，轉(zhuǎn)化2t-1＜-t，解得；t＜

1

3

，可得解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0
∵且f(

1

2

)=

2

5

，
∴a=1，
故函數(shù)f（x）的解析式f（x）=

x

1+x2

，
（2）證明：f（x）=

x

1+x2

，
設(shè)x₁＜x₂，且在（-1，1）上，
f（x₁）=

x1

1+ x 2 1

，f（x₂）=

x2

1+ x 2 2

，
f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵x₁＜x₂，且在（-1，1）上，
∴x₁-x₂＜0，（1-x₁x₂）＞0，（1+x

2 1

）＞0，（1+x

2 2

）＞0
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞增．
（3）不等式f（2t-1）+f（t）＜0，根據(jù)（1）（2）
即化為：不等式f（2t-1）＜f（-t），
2t-1＜-t，解得；t＜

1

3

，
不等式f（2t-1）+f（t）＜0的解集為：（-∞，

1

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，判斷與運(yùn)用，求解析式，解不等式，是基本題型，難度不大．