Question

給出下列三個命題中，其中所有正確命題的序號是

②

．
①函數(shù)f（x）=x+

k

x

（k≠0）在（0，+∞）上的最小值是2

k

．
②命題“函數(shù)f（x）=xsinx+1，當(dāng)x₁，x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，且|x₁|＞|x₂|時，有f（x₁）＞f（x₂）”是真命題．
③函數(shù)f（x）=|x²-4|，若f（m）=f（n），且0＜m＜n，則動點p（m，n）到直線5x+12y+39=0的最小距離是3-2

2

．

Answer 1

分析：①討論k的符號，利用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式進(jìn)行判斷．②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．③利用點到直線的距離公式進(jìn)行判斷．

解答：解：①當(dāng)k＜0時，函數(shù)f（x）=x+

k

x

（k≠0）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值，∴①錯誤．
②∵f（x）=xsinx+1，∴f（-x）=-xsin（-x）+1=xsinx+1=f（x），即f（x）是偶函數(shù)，f'（x）=sinx+xcosx，當(dāng)0≤x≤

π

2

時，f'（x）≥0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)|x₁|＞|x₂|時，有f（|x₁|）＞f（|x₂|），∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（x₁）＞f（x₂）成立．∴②正確．
③作出函數(shù)f（x）=|x²-4|的圖象，由圖象可知若f（m）=f（n），且0＜m＜n，
則0＜m＜2，n＞2．
∴f（m）=|m²-4|=4-m²，f（n）=|n²-4|=n²-4，
由f（m）=f（n），得4-m²=n²-4，即m²+n²=8，（0＜m＜n），
則動點P（m，n）的軌跡是以原點為圓心，半徑r=2

2

的圓弧AB上，
則由圖象可知當(dāng)點P位于點B（2

2

，0）時，p（m，n）到直線5x+12y+39=0的距離最小，
此時d=

|5 2 +39|

52+122

=

5 2 +39

13

=

5 2

13

+3，∴③錯誤．
故答案為：②．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，基本不等式以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷，綜合性較強(qiáng)．