解:由
,運(yùn)用正弦定理,有
,
∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B.
因?yàn)锳≠B,所以2A=π-2B,即A+B=
由此可知△ABC是直角三角形
由c=10,
,a
2+b
2=c
2以及a>0,b>0可得a=6,b=8.
如圖,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O',
切點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),則
AD+DB+EC=
(10+8+6)=12.
但上式中AD+DB=c=10,
所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2,
如圖建立坐標(biāo)系,
則內(nèi)切圓方程為:
(x-2)
2+(y-2)
2=4
設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
則S=|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2=(x-8)
2+y
2+x
2+(y-6)
2+x
2+y
2=3x
2+3y
2-16x-12y+100
=3[(x-2)
2+(y-2)
2]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x.
因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上,所以0≤x≤4,
S
最大值=88-0=88,
S
最小值=88-16=72
分析:利用正弦定理可求得
,進(jìn)而根據(jù)題設(shè)等式求得
整理求得A+B=
判斷出三角形為直角三角形,進(jìn)而可利用勾股定理求得a和b,利用直角三角形的性質(zhì)求得其內(nèi)切圓的半徑,如圖建立直角坐標(biāo)系,則內(nèi)切圓的方程可得,設(shè)出p的坐標(biāo),表示出,S=|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2,利用x的范圍確定S的范圍,則最大和最小值可得.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)求最值的問(wèn)題,直角三角形內(nèi)切圓的問(wèn)題,圓的性質(zhì)問(wèn)題.考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.