（選修4-2　矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值λ=6及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=
.
1
1
.
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．
分析：（1）先設(shè)矩陣 A=
ab
cd
，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=6及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e1及矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）換成（-2，4）．得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，從而求得另一個(gè)特征值為2，設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2=
x
y
，解得特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．
解答：解：（1）設(shè)矩陣 A=
ab
cd
，這里a，b，c，d∈R，
則
ab
cd
1
1
=6
1
1
=
6
6
，故
a+b=6
c+d=6

ab
cd
-1
2
=
-2
4
，故
-a+2b=-2
-c+2d=4

聯(lián)立以上兩方程組解得a=
14
3
，b=
4
3
，c=
8
3
，d=
10
3
，故M=
14
3
8
3
4
3
10
3
．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=λ2-8λ+12，故其另一個(gè)特征值為2，
設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2=
x
y
，則Me2=
6x+2y
4x+4y
=2
x
y
，解得2x+y=0
點(diǎn)評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2　矩陣與變換
已知矩陣A=
30
04
，點(diǎn)M（-1，-1），點(diǎn)N（1，1）．
（1）求線段MN在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的線段M'N'的長度；
（2）求矩陣A的特征值與特征向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1　幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，DE交AB于點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC．
B．選修4-2　矩陣與變換
若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣．
C．選修4-4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，
曲線C1：ρcos(θ+
π
4
)=2
2
與曲線C2：
x=4t2
y=4t
（t∈R）交于A、B兩點(diǎn)．求證：OA⊥OB．
D．選修4-5　不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2　矩陣與變換．
已知二階矩陣M
1
0
=
1
0
，M
1
1
=
2
2
，求M2
1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2　矩陣與變換
已知M=
1-2
-21
，α=
3
1
，試計(jì)算M20α．

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