Question

13．已知函數f（x）在R上滿足f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，則曲線y=f（x）上的點與直線y=2x-5的距離的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先利用解方程組法求出函數f（x）的解析式，再求出平行于直線y=2x-5且與曲線f（x）=x²相切的切點坐標，利用點到直線的距離公式即可求出最小值．

解答 解：∵f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，
∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）²+8（2-x）-8=2f（x）-x²+4x-4+16-8x-8．
將f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，
得f（x）=4f（x）-3x²，
∴f（x）=x²，f'（x）=2x，
設y=f（x）在點$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{2}）$處的切線和y=2x-5平行
則2x₀=2，得x₀=1，即切點為（1，1），
∴曲線y=f（x）上的點與直線y=2x-5的距離的最小值為d=$\frac{|2-1-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了導數幾何意義的運用，直線與曲線相切的性質以及點到直線距離的求法，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題