Question

12．已知函數(shù)f（x）=mlnx+x²．（m為常數(shù)）
（Ⅰ）當(dāng)x∈[1，e]時，求函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)m，使得對任意x₁、x₂∈[1，e]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可求導(dǎo)數(shù)，$f′（x）=\frac{2{x}^{2}+m}{x}$，從而看出需討論m，判斷f′（x）的符號：m≥0時，顯然無零點；m＜0時，需討論$\sqrt{-\frac{m}{2}}≤1，\sqrt{-\frac{m}{2}}≥e$，以及$1＜\sqrt{-\frac{m}{2}}＜e$這幾種情況，通過對f（x）在[1，e]上單調(diào)性和端點f（1），f（e）的符號，及對f（x）在[1，e]上最小值的符號的判斷，從而可判斷f（x）在[1，e]上零點的個數(shù)；
（Ⅱ）由上面知，m＞0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，可設(shè)1≤e₁≤e₂≤e，則可得到$f（{x}_{2}）+\frac{1}{{x}_{2}}≤f（{x}_{1}）+\frac{1}{{x}_{1}}$，從而說明$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$在[1，e]上單調(diào)遞減，從而有$g′（x）=\frac{m}{x}+2x-\frac{1}{{x}^{2}}≤0$在[1，e]上恒成立，這樣便可求出m＜0，從而說明滿足條件的正實數(shù)m不存在．

解答 解：由f（x）=mlnx+x²得x＞0，$f'（x）=\frac{m}{x}+2x=\frac{{2{x^2}+m}}{x}$；
（Ⅰ）（i）若m≥0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）=mlnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，∵f（1）=1＞0；
∴函數(shù)y=f（x）在[1，e]上無零點；
（ii）若m＜0，由f'（x）=0得，$x=-\sqrt{-\frac{m}{2}}$（舍），$x=\sqrt{-\frac{m}{2}}$；
（1）若$\sqrt{-\frac{m}{2}}≤1$，即-2≤m＜0，函數(shù)f（x）=mlnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)；
∵f（1）=1＞0，∴函數(shù)y=f（x）在[1，e]上無零點；
（2）若$\sqrt{-\frac{m}{2}}≥e$，即m≤-2e²，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）=mlnx+x²在[1，e]上為減函數(shù)；
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+m≤-e²＜0；
∴函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有一個零點；
（3）若$1＜\sqrt{-\frac{m}{2}}＜e$，即-2e²＜m＜-2，函數(shù)f（x）在$[{1，\sqrt{-\frac{m}{2}}}]$上為減函數(shù)，在$[{\sqrt{-\frac{m}{2}}，e}]$上為增函數(shù)；
f（1）=1＞0，f（e）=e²+m，$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）=\frac{m}{2}[{ln（-\frac{m}{2}）-1}]$；
①當(dāng)$-\frac{m}{2}＜e$，即-2e＜m＜-2時，$f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）=\frac{m}{2}[{ln（-\frac{m}{2}）-1}]＞0$，函數(shù)y=f（x）無零點；
②當(dāng)$-\frac{m}{2}=e$，即m=-2e時，函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有一個零點；
③當(dāng)$\left\{{\begin{array}{l}{f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）＜0}\\{f（e）={e^2}+m＜0}\end{array}}\right.$時，即-2e²＜m＜-e²，函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有一個零點；
④當(dāng)$\left\{{\begin{array}{l}{f（\sqrt{-\frac{m}{2}}）＜0}\\{f（e）={e^2}+m＞0}\end{array}}\right.$時，即-e²＜m＜-2e，函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有兩個零點；
綜上：當(dāng)m＞-2e時，函數(shù)y=f（x）在[1，e]上無零點；當(dāng)m＜-e²時，函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有一個零點；當(dāng)-e²＜m＜-2e時，函數(shù)y=f（x）在[1，e]上有兩個零點；
（Ⅱ）滿足條件的m不存在；
若m＞0，由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）=mlnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)；
不妨設(shè)1≤x₁≤x₂≤e，則$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$，即$f（{x_2}）+\frac{1}{x_2}≤f（{x_1}）+\frac{1}{x_1}$；
由此說明$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$在[1，e]上單調(diào)遞減，$g'（x）=\frac{m}{x}+2x-\frac{1}{x^2}≤0$在[1，e]上恒成立；
即$m≤-2{x^2}+\frac{1}{x}$對x∈[1，e]恒成立；
又$y=-2{x^2}+\frac{1}{x}$在[1，e]上單調(diào)遞減；
∴$m≤-2{e^2}+\frac{1}{e}$，此時m＜0；
故滿足條件的正實數(shù)m不存在．

點評 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)零點的概念及判斷零點是否存在的方法，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．