Question

11．已知在△ABC中，AB=3，AC=7，點(diǎn)P在AC上，且PB=PC，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=20．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，以AC為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)∠BAC=θ，AP=x，求出$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，根據(jù)PB=PC列方程得出cosθ與x的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)∠BAC=θ，AP=x，
則A（0，0），B（3cosθ，3sinθ），P（x，0），C（7，0）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（x，0），$\overrightarrow{BC}$=（7-3cosθ，-3sinθ），
∵PB=PC，
∴$\sqrt{（x-3cosθ）^{2}+（3sinθ）^{2}}$=7-x，
即x²-6xcosθ+9=49-14x+x²，
∴cosθ=$\frac{7x-20}{3x}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=（7-3cosθ）x=7x-3xcosθ=20．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)法是常用方法之一．