Question

已知數列{a_n}滿足a₁=4，且a_n²=2a_n•a_n+1-4，記b_n=lg

an+2

an-2

，則數列b_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由數列{a_n}滿足a₁=4，a_n²=2a_n•a_n+1-4，b_n=lg

an+2

an-2

，利用遞推思想求出數列{b_n}的前4項，由此利用合理猜想，能求出b_n=2^n-1lg3．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足a₁=4，a_n²=2a_n•a_n+1-4，b_n=lg

an+2

an-2

，
∴b1=lg(

4+2

4-2

)=lg3，
∴16=8a₂-4，解得a₂=

5

2

，b₂=lg（

5 2 +2

5 2 -2

）=lg9=2lg3，

25

4

=2×

5

2

a3-4，解得a₃=

41

20

，b3=lg(

41 20 +2

41 20 -2

)=lg81=4lg3，

1681

400

=2×

41

20

a4-4，解得a4=

3281

1640

，b₄=lg（

3281 1640 +2

3281 1640 -2

）=lg6561=8lg3，
由此猜想：b_n=2^n-1lg3．
故答案為：2^n-1lg3．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意遞推思想和合理猜想的靈活運用．