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設函數f(x)對于任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－2，試求函數f(x)在[－1，1]上的最值．

答案：
解析：

　　分析：要求函數最值，先判定該函數的單調性與奇偶性，然后利用其性質求最值．

　　解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，

　　令x＝y(tǒng)＝0，則f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，

　　令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，

　　得f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數．

　　任取x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

　　知f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．

　　當x＞0時，f(x)＜0，又x2－x1＞0，

　　所以f(x2－x1)＜0，得f(x2)＜f(x1)，

　　故f(x)在R上是減函數．

　　所以當x∈[－1，1]時，f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝2．

　　點評：抽象函數具有抽象性、綜合性．解決此類問題，需立足單調性與奇偶性的定義和性質去破解．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法中，正確的是（　�。�
①對于定義域為R的函數f（x），若函數f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數f（x）的圖象關于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，
1
2
，3}，則使函數y=xa的定義域為R且該函數為奇函數的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數f（x）=2x-log0.5x的零點，若0＜x0＜a，則f（x0）＜0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常數）；②對于D內任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函數，求m和n的值．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年黑龍江省大慶市鐵人中學高三（上）第二次段考數學試卷（解析版） 題型：選擇題

下列說法中，正確的是（ ）
①對于定義域為R的函數f（x），若函數f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數f（x）的圖象關于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，，3}，則使函數y=xa的定義域為R且該函數為奇函數的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數f（x）=2x-log0.5x的零點，若0＜x＜a，則f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省襄陽市高一（上）期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（）＞[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

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