Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，O）
（1）求向量

b

+

c

的長(zhǎng)度的最大值；
（2）設(shè)α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），求cosβ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的模的公式以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再由余弦函數(shù)的值域即可得到最大值；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及同角的平方關(guān)系，即可求得cosβ的值．

解答： 解：（1）由

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，O），
則|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，|

c

|=1，
即有|

b

+

c

|=

b 2+ c 2+2 b • c

=

1+1-2cosβ

=

2-2cosβ

，
當(dāng)cosβ=-1時(shí)，向量

b

+

c

的長(zhǎng)度的最大值為2；
（2）設(shè)α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），
則

a

•(

b

+

c

)=0，
即有

a

•

b

+

a

•

c

=0，
即cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=0，

2

2

（cosβ+sinβ）=

2

2

，即為sinβ+cosβ=1，
又sin²β+cos²β=1，
可得cosβ=0或1

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，主要考查向量的垂直的條件和模的求法，同時(shí)考查同角的平方關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．