Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）的最小值為-3.

【解析】

（1）由，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即判斷單調(diào)性；

（2）由，因為對任意的恒成立，對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，由，對進行分析，利用函數(shù)零點存在定理，可知一定存在唯一的，使得，進而求出的單調(diào)性，由此即可求出結(jié)果．

（1）由題意，函數(shù)，可得，

當時，；

當時，，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）由，

因為對任意的恒成立，

即對任意的恒成立，

令，則，

因為，所以.

又由函數(shù)，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

因為，，

所以一定存在唯一的，使得，即，即，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以.

因為，所以的最小值為-3.