Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試判斷n≥4時(shí)與S_n+1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）設(shè)a_n的首項(xiàng)為a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴，∴
∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
n=1時(shí)，b₁=T₁=1-b₁，∴b₁=
n≥2時(shí)，，，
兩式相減得b_n=b_n-1數(shù)列是等比數(shù)列，
∴b_n=•（）^n-1；
（2）S_n==n²，∴S_n+1=（n+1）²，=
n≥4時(shí)，＞S_n+1，證明如下：
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=4時(shí)，已證．
②假設(shè)當(dāng)n=k （k∈N^*，k≥4）時(shí)，＞S_k+1，即＞（k+1）²．
那么n=k+1時(shí)，==3•＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可知n∈N^*，n≥4時(shí)，＞S_n+1都成立．
分析：（1）由于數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，故只需求出首項(xiàng)和公差就可求其通項(xiàng)公式；由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n 通過遞推然后兩式相減可求得b_n．
（2）利用等差數(shù)列求和公式得出S_n，S_n+1．猜想：n≥4時(shí)，＞S_n+1，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．