Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點(diǎn)）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

AP

=x

AD

，

PB

•

PC

=y，對(duì)于函數(shù)y=f（x），給出以下三個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，4]；
②?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；
③?a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）的最大值都等于4．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：通過(guò)建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得y=f（x）=

PB

•

PC

=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．x∈[0，1]．
通過(guò)分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．
∵

AP

=x

AD

，（0≤x≤1）．
∴

BP

=

BA

+x

AD

=（-2，0）+x（1，a）=（x-2，xa），
∴

PC

=

BC

-

BP

=（0，a）-（x-2，xa）=（2-x，a-xa）
∴y=f（x）=

PB

•

PC

=（2-x，-xa）•（2-x，a-xa）
=（2-x）²-ax（a-xa）
=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
①當(dāng)a=2時(shí)，y=f（x）=5x²-8x+4=5(x-

4

5

)2+

4

5

，
∵0≤x≤1，∴當(dāng)x=

4

5

時(shí)，f（x）取得最小值

4

5

；
又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）_max=f（0）=4．
綜上可得：函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="tmccgoc" class="MathJye">[

4

5

，4]．
因此①不正確．
②由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可得：?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正確；
③由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可知：對(duì)稱軸x₀=

4+a2

2(a2+1)

．
當(dāng)0＜a≤

2

時(shí)，1＜x₀，∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值4．
當(dāng)a＞

2

時(shí)，0＜x₀＜1，函數(shù)f（x）在[0，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，1]上單調(diào)遞增．
又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）_max=f（0）=4．
因此③正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、分類討論、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．